雅文吧言情小说网 > 都市言情 > 重生学神有系统 > 第254章 扩展欧几里得算法,以及增强线段树



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“七八点钟?没问题,我们都不见得能玩到那么晚呢。”熊磊率先表示赞同。

朱达昌也点了点头:“玩得太晚了,两位老师也会不放心。”

江寒笑问:“看你们下午都这么有时间,意思是今天不往回走了呗?”

朱达昌回答:“高老师预定了火车卧铺,夜里10点的始发车。”

李山河也说:“要等8、9个小时的车,这么长时间,不玩点什么也太无聊了。”

熊磊的情况有所不同,他解释说:“我爸爸的车实在不能凑合了,准备买台全新的高尔夫6,明天就去4s店提车,所以只能晚一天回去。”

江寒了然一笑,熊爸爸那辆二手车,动不动就趴窝,的确早该换换了。

想了想,对李山河、朱达昌说:“我不一定能送你们上车,今晚我可能就得往回走了。”

“这么急吗?好不容易来一趟松江,不好好玩一玩?”李山河问。

江寒坦然点头,说:“我是坐方便车来的,别人什么时候往回走,我就什么时候跟回去,总不能让别人将就我吧?”

其实要什么时候回去,还不是他一句话的事情?

但夏雨菲明天有课……

“诶?如果唱k的话,能不能让夏雨菲同学也来呀?”朱达昌突发奇想。

“就是的,江寒,你和夏雨菲好像挺熟悉的,帮忙邀请一下呗。”李山河也力促。

江寒一阵无语。

别说,还真可以考虑一下。

小媳妇这次出来,光跟着自己跑前跑后了,也没玩好……

也不知道她有没有意愿出来散散心?

江寒想了想,没把话说死:“好吧,比完赛我打电话问一声,能不能约出来,我可不敢保证哦。”

听了江寒的话,其他人都十分期待,毕竟夏雨菲不光长得好看,在学校里也是有名的唱歌好听。

但其实,江寒已经决定,顺便也叫苗清澜和关浩一声,愿意来的话,就一起热闹热闹。

而且,出门在外的,指导教师们也不可能彻底放手,肯定都会跟着。

这样的话,就不太好去一些环境太复杂的场所了……

时间将到8点,赛场封锁就被解除,选手们再次鱼贯入场。

其他流程和昨天大同小异。

8点30分,day2比赛正式开始。

江寒拿到题之后,习惯性地全部浏览了一遍,然后从头开始做。

今天的三道题,难度比day1高多了。

但说实话,并没有超过他的预计,都属于那种稍微花点心思就能解决的类型。

第一题是同余方程。

【问题描述】:求关于x的同余方程ax≡1(modb)的最小正整数解。

输入数据是两个正整数a和b,要求输出方程的最小正整数解x0。

比如:输入3和10,输出就是7。

数据范围:

对于40%的数据,2≤b≤1000;

对于60%的数据,2≤b≤50000000;

对于100%的数据,2≤a≤2000000000,2≤b≤2000000000;

输入的数据保证一定有解。

江寒一打眼就看出来了,这是一道数论题。

只要明白同余方程是怎么回事,就很容易理清思路。

原式可理解为axmodb=1,即ax的乘积除以b,余数为1。

所以,对于任意给定的a、b,可以用穷举法暴力搜索,从x0=1开始,每次递增1,很容易就能找出一个最小的x,使得方程成立。

但因为a、b的取值范围特别巨大,这样做,会导致至少4个点tle(timitexceeded,即时间超限)。

要想得到全部分数,必须想办法缩减运算时间。

如果能找到这个算式中隐藏的规律,问题自然迎刃而解。

当然,这需要拥有一点数论功底,才能办得到。

江寒先观察了一下方程。

原式等价于ax-kb=1,因为k值可以为负数,所以又可以看做ax+by=1。

显而易见,a与b一定互质,所以原式可转化为ax+by=gcd(a,b),这里gcd表示两个整数的最大公约数……

咦?

这不就是扩展欧几里得的标准形式吗?

这样就简单了啊!

欧几里得算法也叫辗转相除法,用于求最大公约数,属于小学奥数常见内容。

有个基本性质:gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

而扩展欧几里德算法,则用来已知a,b,求解方程ax+by=gcd(a,b)的解。

根据数论中的相关定理,解是一定存在的。

所以,这道题只要用上扩展欧几里德算法,就能很轻松找到一组x0、y0,使得等式成立。

接下来,江寒根据算法,只花了五分钟,就编写出了对应的代码。

其中的递归函数exgcd(),就是扩展欧几里德算法的一种实现。

用上了这种方法之后,编程难度大大降低,一共只用了10来行代码,就完成了解答。

然后一调试……

江寒就无语地发现,求解出来的x0,居然有时候会出现负值。

这就不符合题意了。

那么……为什么会产生这种情况呢?

江寒想了想,拿过一张草稿纸,简单地推理了一下。

在数学上,ax=1(modb)等价于ax%b=1,又等价于ax+by=1。

当用扩展欧几里德算法,求出它的一组解x0和y0时,可得ax0+by0=1。

那么只要在方程左边加上一个kab,再减去一个kab,合并同类项可得:

a(x0+kb)+b(y0-ka)=1。

x=x0+kb,y=y0-ka就是方程的通解,k可以为负数、0、或正数。

这里我们只关心x的取值,于是接下来,只要求出等于x0+kb的最小正整数,就可以了。

为什么给x0加上一个kb,而不是某个比b小的数与k的乘积?

很简单,如果那么做,就找不到能使等式成立的y了……

因为x0有可能为负数,所以要分两种情况讨论。

当x0大于0时,显而易见,x0%b也大于0,所以最小的正整数x就是x0%b本身。

而当x0≤0时,x0%b也必然≤0,因为|x0%b|必定小于b,所以只需要在x0%b的结果上,再加上一个b,就可以得到最小的正整数解了。

推演到这里,结论就很明确了。

江寒马上将代码稍加修改,再次一调试,这次就顺利通过了。

啧,出题的人挺阴险的嘛。

如果生搬硬套扩展欧氏算法,没准一不小心就会掉进坑里去……

虽然这么一个小坑,应该也困不住太多人就是了。

第一题搞定之后,江寒就开始思考下一道题。

第二题:借教室。

【问题描述】:……

(太长

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